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  各位老师和朋友们,请帮忙看看如何做?不必完全等于实际,近似值就行,略小于实际,不能大于实际。谢谢!如下是问题:%Vo;Z
求如下这些点的函数4naIL
(4,9),(5,28),(6,80),(7,221)._%
我弄的公式:b = 1.74136140824861 ^ (1.44 * a) - 1.74136140824861 ^ (a + 0.92)。@z1e
a依次输入4,5,6,7的值为:9.0903320129064,27.5776386262734,74.135055990122,187.135893810461m6Z|
朋友的公式(lcu
y=0.1311exp(1.0653x).yI.dK
您的公式的验证,依次输入4,5,6,7为9.294335344023,26.9694599213373,78.2575344579496,227.08062072062。最后一个值大于实际了。dF[A
7往后都大于实际了。<_+Vr.
7往后的值分别是221,608,1694,4775,13606.skZ[}


发贴时间2020/05/16 10:05am 此 IP 为代理服务器IP: 已设置保密[本文共624字节]  
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  陆元鸿教授的精彩解答:(好象也是拉格朗日插值法吧)4h''=
y = ( 56 x^3 - 741 x^2 + 3367 x - 5142 ) / 6=%
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  %TOyVn
x = 4 ,y = 9 。u
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  fB
x = 5 ,y = 28 。0yc
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  *n
x = 6 ,y = 80 。<
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Z_
x = 7 ,y = 221 。&&
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  2,hZ
x = 8 ,y = 507 。kFK,]{
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Xc-k
x = 9 ,y = 994 。X*K
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (bc*:
x = 10 ,y = 1738 。w5
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  W,lMy
x = 11 ,y = 2795 。j0Gkb'
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  fHt+
x = 12 ,y = 4221 。m=Sz


发贴时间2020/05/16 03:25pm 此 IP 为代理服务器IP: 已设置保密[本文共313字节]  
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  其实前面那些整数点并非都是整数,而是取消了小数部分,依次输入4,5,6,7对应的带小数的值为9.1950831715873,28.9888206573201,80.4899477790795,221.074445101172。W4y
后面的依次是608.992317564808,1694.99578749547,4775.7128358109,13606.088463196。\pXIR5
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  v
应该能弄出更准确的公式,欢迎各位老师和朋友继续给予指导!&W


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  更精確的通項只能基於更精確,更多的實際數據. A<
因為除此之外都是缺乏根據的拼湊.V;hw


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  谢谢!很对,谢谢老师!KiqtE7


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  我已经把陆元鸿教授的公式用于计算素数个数的程序,结果与实际非常接近,如下为结果:e*'
10内的素数个数下限为 4,实际为4个。100内的素数个数下限为 22,实际为25个。Y;K+e
1000内的素数个数下限为 163,实际为168个。Y
10000内的素数个数下限为 1227,实际为1229个。S^xJf
100000内的素数个数下限为 9564,实际为9592个。jx
1000000内的素数个数下限为 78463,实际为78498个。q{bDl5
10000000内的素数个数下限为 664561,实际为664579个。@)
(只用于10^7以内的数。)J/m&5
大于10^7采用我们的近似公式:(下面的b1和b4,而b3为陆元鸿教授的)CyCk_
b = Exp(1.033 * a)R z
b1 = 0.1578 * brU/_^K
b3 = (56 * a ^ 3 - 741 * a ^ 2 + 3367 * a - 5142) / 69/q
b4 = (1.74136140824861 ^ (1.8 * a)) / 4.9^d-k3*
b5 = (b4 + b1) / 2R}+w4
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  X(!2
a依次输入7,8,9,10,11时b1,b4的平均值b5分别为219.664329196356,606.570528142824,1675.45599266651,t\ZWd
4629.29243022057,gXh
12794.5765370479,(调整一下还能更接近实际。)9
如下是利用这个公式得出的素数个数:4V6nQ
100000000内的素数个数下限为 5760140,实际为5761455.+
1000000000内的素数个数下限为 50817717,实际为50847534.[d\6%:
1600000000内的素数个数下限为 79394377,实际为79451833个。10000000000内的素数个数下限为 454416615,实际为455052511.Lqb
100000000000内的素数个数下限为 4107923014,实际为4118054813.=&?\e
160000000内的素数个数下限为 8972209,实际为8974458.i
1900000000内的素数个数下限为 93475776。N|b)B(


发贴时间2020/05/17 09:38am 此 IP 为代理服务器IP: 已设置保密[本文共1298字节]  
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  既然考虑的是素数,当然就要用到素数定理,3
问题归结为如何得到更好的π(10x)π(10x)的渐近公式.}
按此在新窗口浏览图片^N;Q


发贴时间2020/05/19 03:18am IP: 已设置保密[本文共149字节]  
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  由于当输入1时原公式的值是0,我们不从1开始是从4开始的,由于原公式是改进的,加了提前量4,若去掉这个提前量是否会好弄?请老师用下面的数据试试?7B/]%+
可以试试这几个数,重新做出个函数公式吧。就是(4,13),(5,32),(6,84),(7,225),(8,612)。sHcmls
还有下面的数(9,1698),(10,4779),(11,13610).^
电脑中有这样的自动给出函数结果的程序吗?{IOF8u
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  l6
感谢老师的数据,我需要这个,再多算几项!2O=


发贴时间2020/05/19 11:19am 此 IP 为代理服务器IP: 已设置保密[本文共411字节]  
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  对,所谓的素数定理就是这两个公式,好象是,我用的是第一个,就是下限公式,而且是改进了一下。d\
不改进的话数据是上面发的值,规律是一样的。?_:qb
谢谢老师!7}7


发贴时间2020/05/19 11:31am 此 IP 为代理服务器IP: 已设置保密[本文共174字节]  
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  现在按照我的帖子(一般公式)写代码. 用计算机完成所需数据的近似计算.首先贴出代码:T

代码:
from math import *?4iUjr
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  +o(
def fct(n):H_
   p = 1nzyhj8
   for k in range(n):bff1`
       p *= (k+1)mD'oC
   return p3Efy;
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  #s])"
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  #C
def lmd(x,k,m,a,h):6g;
   v=(-1)**(m-k-1)*((0.0+a+k*h)/(x*h))**(m-1)[
   v/= (fct(k)*fct(m-1-k))" x
   for j in range(m):%`,3-q
       if k != j:%dn(
           v *= (x-a-h*j)jPl
   return vL7whEF
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  H
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def px(x):v^B
   w= 10**xv
   return (1.0+45./w)*w/log(w)5i
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  PY8qi
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  d
def g(x,L,funct,a=1,h=1):5
   m=len(L)-_k
   M=[L[k]/funct(a+h*k) for k in range(m)]GY
   w = 0Ux4?.
   for k in range(m):e`u[
       w += M[k]*lmd(x,k,m,a,h)!
   return w*funct(x)

下面是对这段代码的简单注释:q
$(1)\quad\text{ fct}(n)\,$是阶乘$\,n!\,$的python代码.N1G
$(2)\quad\text{ lmd}(x,\,k,\,m,\,a,\,h)\,$是一般公式中的$\,\lambda_k(x,x_0,h,m).$VcV
$(3)\quad\text{ px}(x)\,$是$\,(1+\frac{a}{w})\frac{w}{\log w},\;w=10^x\,$的python函数定义.G.4
$(4)\quad\text{ g}(x,L,\text{funct},a=1,h=1)\,$是一般公式本身.其中$\text{L}$P
$\quad$是插值数据(python List,数列$m$是数列长),funct是~5U8@1
$\quad$被逼近函数.可以是上面的$\,\text{px}(x)=(1+{\scriptsize\dfrac{45}{10^{\large x}}}){\scriptsize\dfrac{10^{\large x}}{\log(10^{\large x})}}$[~C`,4
$\quad\approx\pi(10^x).\;$其中$1+\frac{45}{10^{\,x}}\,$是矫正因子,大有改进余地.HS7z
$\quad$最后$,\,x_k=a+kh\,$解释了参数$\,a,\,h:$X=
$\qquad L=[\varphi(a+0h),\ldots,\varphi(a+(m-1)h)].$0fa>1?
按此在新窗口浏览图片~


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