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  考虑 Lagrange等距插值$\,f(x)=a_0{\small L_0}(x){\small+\cdots+}a_{m-1}{\small L_{m-1}}(x)$:$Mdf
$\,\displaystyle\small L_k(x)=\prod_{0\,\le\,j\,\le\,m-1\atop j\,\ne\,k}{\scriptsize\frac{x-x_j}{x_k-x_j}}=\prod_{0\,\le\,j\,\le\,m-1\atop j\,\ne\,k}{\scriptsize\frac{\hat{x}-j}{k-j}}\;(x_m=x_0+mh,\;\hat{x}={\scriptsize\frac{x-x_0}{h}})$h|1QW
$\therefore\small\displaystyle P(x_m)=\sum_{j=0}^{m-1}P(x_j)L_k(x_m)\,$对次数$\,< m\,$的多项式成立.其中4D;/
$\;\;\;\small\displaystyle L_k(x_m)=\prod_{0\,\le\,j\,\le\,m-1\atop j\,\ne\,k}{\scriptsize\frac{m-j}{k-j}}={\scriptsize\frac{(-1)^{m-k-1}m!}{(m-k)k!(m-1-k)!}}=(-1)^{m-k-1}\binom{m}{k}\,$n@5a
$\therefore\quad\small\displaystyle P(x_m)=\sum_{k=1}^m(-1)^{k-1}\binom{m}{k}P(x_{m-k}).\quad(\deg P< m)$h
相应的递归公式是$\color{blue}{\;\; a_{n}{\small\displaystyle=\sum_{k=1}^m(-1)^{k-1}\binom{m}{k}}a_{n-k}}\;\;(m\,$越大越精确.$)$`:Q*bR
这本质上是$\,m\,$次多项式拉氏插值.%37{
易得L氏递归通项, 但递归公式因与时俱进的数据更有效.3b=V~#


发贴时间2020/05/13 06:00pm IP: 已设置保密[本文共999字节]  
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  例1:令$\,a_n=p(3+109n),\;p(x)=x^2-7x-1009187,\;$则Pv{>N
$\qquad (a_{330},a_{439},a_{548},a_{657})=\small(5672,88730,195550,326132)\underset{\,}{\,}$'`
$\qquad$由于这些项的下标等距($109$),我们有(其实不用验证):0<I76.
$\qquad a_{657}=\binom{3}{1}a_{548}-\binom{3}{2}a_{439}+\binom{3}{3}a_{330}$/[S|I
$\qquad\qquad\small=3(195550-8873)+5672=326132$.c#?
$\therefore\quad a_{m+3k}=3a_{m+2k}-3a_{m+k}+a_k\,$对所论通项公式恒成立.pH^
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  F~*]5
例2:考虑插值公式$\small\;\sin 3x\approx{\displaystyle\sum_{k=1}^{11}}(-1)^{k-1}\binom{11}{k}\sin(3x-{\scriptsize\dfrac{k}{2}}x)\;$及K>bwiS
$\qquad\sin 3x\approx{\scriptsize 132}\sin\frac{x}{2}{\scriptsize-165}\sin x{+110}\sin\frac{3x}{2}{\scriptsize-44}\sin 2x{\scriptsize+10}\sin\frac{3x}{2}$xE
$\qquad$从以下图示可知$,\,\sin 3x\,$的这个$\small 11$次多项式插值在区间YX
$\qquad(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上拟合得相当好.在大范围中正弦与多项式必然o\==&
$\qquad$分道扬镳.a-h^
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发贴时间2020/05/14 01:15pm IP: 已设置保密[本文共961字节]  
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  假定$\,\varphi(x)\,$没有解析表示,$f(x)\,$是其渐近解析逼近$(\varphi/f\to 1\,\small(x\to\infty))$4o0>d
现构造一个函数$\;\,g(x,x_0,h,m)=f(x)+o(1)\;\small(\;g-f\overset{x\to\infty}{\longrightarrow} 0)\underset{\,}{\;}$使得W;":
$(\dagger)\qquad\varphi(x)=g(x,x_0,h,m)\quad{\small(x=x_k=x_0+kh,\,k=\overline{0,m-1})}$ 令7d_F
$\;\lambda_k(x,x_0,h,m)=\frac{(-1)^{m-k-1}}{k!(m-1-k)!}\big(\frac{x_0+hk}{x}\big)^{m-1}\frac{h^{-(m-1)}}{x-x_k}{\small\displaystyle\prod_{j=0}^{m-1}}(x-x_k)\small\;\;(k={\scriptsize\overline{0,m-1}})$~,BTC-
则 $g(x,x_0,h,m)=f(x){\small\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}\frac{\varphi(x_k)}{f(x_k)}\lambda_k(x,x_0,h,m)}$99@


发贴时间2020/05/19 07:27am IP: 已设置保密[本文共649字节]  
 ysr 




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  公式计算复杂,学习一下!cX0


发贴时间2020/05/19 11:17am 此 IP 为代理服务器IP: 已设置保密[本文共48字节]  

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