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  求做如下这个数列的通项公式:leB27c
9,28,80,221,608,1694,4775.#LItL=
要求每项大致相等,但必须是小于等于实际,而不能大于实际,并预测第7项的值。#+5


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  对任意$\small\,\{a_n\}\,$及$\,m\small\in\mathbb{N}^+,\,$令$\,b_n=a_n{\small+(n-1)(n-2)\cdots(n-m)\varphi(n)}$p?\8u
其中$\varphi\not\equiv 0\,$是任意函数.故与$\{a_n\}$前$\,m\,$项重合但不同的序列无P#33
穷多,主贴问题不会有唯一解.但楼主所期望的平缓变化曲线XM[amU
$\,y=f(x)\,$使$\,a_n=f(n)\;\small(n=\overline{1,m}).$ 是可行的.其中$m$次多项式XI
的曲线选择叫作拉格朗日插值法.O3f
$\;\;\;a_{n+m}{\small=}\lambda_0a_n{\small+}\lambda_1a_{n+1}{\small+\cdots+}\lambda_{m-1}a_{n+m-1}.$其中$\lambda_k{\displaystyle\small=\prod_{0\le\,j\,\le\,m-1\atop j\,\ne\,k}}\frac{m-j}{k-j}$-8hP
通项形如$\;\;\color{green}{\displaystyle a_n = \sum_{i=1}^{m} \xi_{i}^n (\sum_{j=0}^{r_i-1}\alpha_{i,j}n^j) + \gamma n^p}\quad$(见 ref)DQ(T


发贴时间2020/05/12 10:18am IP: 已设置保密[本文共773字节]  
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  例:令$\,m=6,\,$则$\,(\lambda_0,\ldots,\lambda_5)=(-1,6,-15,20,-15,6)$[aiqZd
$\qquad$特征方程为$\;\displaystyle{x^6-\sum_{k=0}^5}\lambda_{5-k}x^{5-k}\equiv(x-1)^6=0$%UJ
$\qquad$数列通项形如$\underset{\,}{\;}\;a_n=c_0+c_1n+c_2n^2+\cdots+c_5n^5$T/9w0~
$\qquad{\small\begin{bmatrix}c_0\\c_1\\c_2\\c_3\\c_4\\c_5\end{bmatrix}=}\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&2&2^2&2^3&2^4&2^5\\1&3&3^2&3^3&3^4&3^5\\1&4&4^2&4^3&4^4&4^5\\1&5&5^2&5^3&5^4&5^5\end{bmatrix}^{-1}\small\begin{bmatrix}9\\28\\80\\221\\608\\1694\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-127\\307\\-1547/6\\843/8\\-121/6\\33/8\end{bmatrix}$VE|ZI
$\qquad a_n=f(n)=\small-127+307n-\dfrac{1547}{6}n^2+\dfrac{843}{8}n^3-\dfrac{121}{6}n^4+\overset{\,}{\dfrac{33}{8}}n^5$o2_U
$\qquad f(3)=80,\;f(5)=608,\;f(7)=4423,\;f(8)=10425$;*S2}
如果初值数据从$6$项加到$7$项,就有G|
$\qquad f(x)\small=225-\dfrac{2777}{5}x+\dfrac{48251}{90}x^2-\dfrac{6095}{24}x^3+\dfrac{1177}{18}x^4-\dfrac{1037}{120}x^5+\dfrac{22}{45}x^6$/W2?
$\qquad f(8)=12889$$)kH3


发贴时间2020/05/12 01:33pm IP: 已设置保密[本文共986字节]  
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  谢谢老师!我验证一下,第七项实际是13606.  其实每一项都有小数的,我去掉了。^qF:m&
我的观察是这样个规律:Z
a,3a,9a-1,27a-x,……其中a和x待定,可以取小数。o(
其实数列为我的素数下限公式结果与实际差距,除以某数(该数是变量)的结果。%At
这个数据将很有意义,可以准确得到素数个数公式,以及某数内的最大的素数的公式。tmi\b
非常感谢!~,HR


发贴时间2020/05/12 03:54pm 此 IP 为代理服务器IP: 已设置保密[本文共353字节]  
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  不如用以下递推公式:d(
$\quad a_n=\binom{m}{1}a_{n-1}-\binom{m}{2}a_{n-2}+\cdots+(-1)^{m-1}\binom{m}{m}a_{n-m}$n,
即后一项用它之前的$m$个项插值得到. 这里$m$是任意正整数.Q"Ubk


发贴时间2020/05/12 05:08pm IP: 已设置保密[本文共198字节]  
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  $\binom{7}{1}{\small 4775-}\binom{7}{2}{\small 1694+}\binom{7}{3}{\small 608-}\binom{7}{4}{\small 221+}\binom{7}{5}{\small 80-}\binom{7}{6}{\small 28+}\binom{7}{7}\small 9=12889$F
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这个递推公式很简单.c^|$


发贴时间2020/05/16 04:24pm IP: 已设置保密[本文共224字节]  
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  谢谢老师!我学习一下,非常感谢!xtv.


发贴时间2020/05/17 11:46am 此 IP 为代理服务器IP: 已设置保密[本文共56字节]  
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  下面是我写的一段程序(python),binom(n,k) 是组合数函数,@/,Tu
lap(L)是L氏插值函数. 代码和试用情况如下:W'b&7
按此在新窗口浏览图片RFF


发贴时间2020/05/17 04:14pm IP: 已设置保密[本文共155字节]  
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  一个个递推下去?后一项都是接近实际而不是等于实际,答案是唯一的?用指数函数好,据函数性质可以调整,同过左右平移图像,上下平移,改变形状提高陡度,纵向拉伸横向拉伸等,使图像接近实际,达到非常接近实际的目的!完全等于实际的理论上0误差的公式是否存在?不知道,非常接近实际的公式是可以得到的。hAo


发贴时间2020/05/18 08:49pm 此 IP 为代理服务器IP: 已设置保密[本文共309字节]  

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