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 * 贴子主题: $\displaystyle(1+x+x^2)^n=\sum_{k\,=\,0}^{2n}a_kx^k{\large\implies}\sum_{0\le\,3\,k\,\le\,2n-j}a_{3\,k+j}=3^{n-1}\;(j=0,1,2)$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 HOFFMAN 




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  題:設$\,(1+x+x^2)^n=a_0+a_1x+\cdots+a_{2n}x^{2n},\;(n\in\mathbb{N}).\quad$證明:?N{B9(
$\qquad a_0+a_3+a_6{\small+\cdots}=a_1+a_4+a_7{\small+\cdots}=a_2+a_5+a_8{\small+\cdots}=3^{n-1}$4~"c23
108 全國L[


发贴时间2020/05/06 00:00pm IP: 已设置保密[本文共255字节]  
 elim 
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  记${\small\;A=}a_0+a_3+a_6+{\small\cdots,\,B=}a_1+a_4+a_7{\small+\cdots,\,C=}a_2+a_5+a_8+\cdots,$Jz_
取$\,x=e^{\frac{2\pi}{3}i},$则$\,x^{3k}=1,\,x^{3k+1}=x,\;x^{3k+2}=x^2=\bar{x},\;\;(k=0,1,2,\cdots)\,$且&Ln,A
$0=0^n=(1+x+x^2)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2n}x^{2n}$HziUSp
$\quad =(a_0+a_3+\cdots)+(a_1+a_4+\cdots)x+(a_2+a_5+\cdots)x^2$av_2Q<
$\quad = A+B\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}+C\frac{-1-\sqrt{3}}{2}=A-(B+C)/2+i(B-C)\sqrt{3}/2$`U"5J
$\quad$比较上式两边虚部实部即得$\,A=B=C$s
再令$\,x=1\,$得$\:3^n=A+B+C=3A.\quad\therefore\;\; A=B=C=3^{n-1}.\small\quad\square$fJATp


发贴时间2020/05/07 03:30am IP: 已设置保密[本文共575字节]  
 HOFFMAN 




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  這個方法好,牛逼。,謝謝老師。<mZ1z


发贴时间2020/05/07 11:18pm IP: 已设置保密[本文共54字节]  

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