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 HOFFMAN 




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  題:设$\{a_n\}\,$由$\,a_1=0,\,a_{n+1}=\frac{1+a_n}{3-a_n}\,$給出. 求$\,a_n\,$的通項公式.~


发贴时间2020/05/03 10:42pm IP: 已设置保密[本文共119字节]  
 elim 
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  解:根據題設計算$\,\{a_n\}\,$的前幾項:$\,{\small 0},\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{2},\,\frac{3}{5},\,\frac{2}{3},\,\frac{5}{7},\,\frac{3}{4},\ldots$"-s
$\qquad$即$\,{\small 0},\,\frac{1}{3},\,\frac{2}{4},\,\frac{3}{5},\,\frac{4}{6},\,\frac{5}{7},\,\frac{6}{8},\ldots\,$這暗示$\,a_n=\frac{n-1}{n+1}.\,$將$\,\frac{n-1}{n+1}$代入~{W/Us
$\qquad$遞歸關係式得:$\,{\large\frac{{\small 1}+\frac{n-1}{n+1}}{{\small 3}-\frac{n-1}{n+1}}}=\frac{2n}{2n+4}=\frac{n}{n+2}=\frac{(n+1)-1}{(n+1)+1}.\;$可見@
$\qquad a_n=\frac{n-1}{n+1}\,$是所论序列的通項公式.-JMJ


发贴时间2020/05/04 09:08am IP: 已设置保密[本文共566字节]  
 elim 
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  題:设$\{a_n\}\,$由$\,a_1=0,\,a_{n+1}=\large\frac{1+a_n}{3-a_n}\,$給出. 求$\,a_n\,$的通項公式.U~
解:令$\;\varphi{\large\binom{a}{b}}={\large\frac{a}{b}},\;\;$易见$\;\,a_n=\varphi(A^{n-1}\binom{a_1}{1}),$#ET
$\qquad A={\small\begin{bmatrix}1&1\\-1&3\end{bmatrix}},\;J={\small\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix}},\;\;T={\small\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}},\;T^{-1}={\small\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}},$5z
$\qquad J^k=2^{k-1}{\small\begin{bmatrix}2&k\\0&2\end{bmatrix}},\;\; A^{n-1}=TJ^{n-1}T^{-1}=2^{n-2}{\small\begin{bmatrix}n+5&n-1\\n+7&n+1\end{bmatrix}}.$*la:
$\;\;\therefore\;\;a_n={\large\frac{(3-n)a_1+n-1}{(1-n)a_1+n+1}}={\large\frac{(1-a_1)n+3a_1-1}{(1-a_1)n+a_1+1}}.$&Cc;;2
$\qquad$特别地,取$\,a_1=\small 0\,$得$\;a_n = \large\frac{n-1}{n+1}.\small\quad\square$"9-2yY
知道一元线性分式的迭代性质, 這麼應用以前没想到过.m0pK


发贴时间2020/05/05 03:52pm IP: 已设置保密[本文共878字节]  
 HOFFMAN 




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  老師特牛的! 謝謝老師!_FCd


发贴时间2020/05/05 09:31pm IP: 已设置保密[本文共45字节]  

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