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 * 贴子主题: 试证${\;\displaystyle{\small\,h_{k+1}=\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^jh_{k-j}\,}\sigma_{j+1}+{\scriptsize(-1)^k(k+1)}\sigma_{k+1}.\;({\scriptsize h_k=\sum_{j=1}^n}x_j^k})$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
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  $X_n = \{x_1,\ldots,x_n\},\;1< |X_n|=n\in\mathbb{N},\,\mathbb{E}_k=\{E\subset X_n\mid |E|=k\}\;\;(k=\overline{1,n})\underset{\,}{\,}$=IC=V+
称$\;\;\sigma_k=\displaystyle\sum_{E\in\mathbb{E}_k\;}\,\prod_{x\in E}x\;$为$X_n$的$k\,$次初等对称多项式,$\;\; h_m=x_1^m+\cdots+x_n^m\,$为*'"
$X_n$的$m\underset{\,}{\;}$阶等幂和多项式.固定$\,n\,(1< n\in\mathbb{N}),\,s_1,\cdots,s_n\,$是$\,X_n\,$的某排列,则N_yCvQ
$(0)\quad\sigma_0=1,\quad\sigma_m=0\underset{\,}{\;}(n< m\in\mathbb{N});\quad h_0=n;$#V
$(1)\quad h_u\sigma_v\,$恰含两类单项式$\displaystyle:\,s_{1}^{u+1}{\small\prod_{j=2}^{v}}s_j,\,\;s_1^u{\small\prod_{j=2}^{v+1}}s_j.\;\;\small(u\ge 1\le v< n)$q)
$(2)\quad\partial_{s_1}\cdots\partial_{s_v}\sigma_{m+v}=\sigma_m|_{s_1=\cdots=s_v=0},\quad\partial_{x}^{k}\sigma_m=0,\underset{\,}{\,}(m\ge 0,\;\;k>1\le v\le n);$?h/byy
$(3)\quad\displaystyle\partial_{s_1}^{k-j}{\small\prod_{v=2}^{j+1}}\partial_{s_v}(h_{k-j}\sigma_{j})={\small\prod_{v=2}^{j+1}}\partial_{s_v}(\partial_{s_1}^{k-j}(s_1^{k-j}{\small\prod_{v=2}^{j+1}}s_v))=(k-j)!\small\quad(0\le j\le k>1)$d/g
$(4)\quad\displaystyle\partial_{s_1}^{k-j}{\small\prod_{v=2}^{j+1}}\partial_{s_v}(h_{k-j-1}\sigma_{j+1})={\small\prod_{v=2}^{j+1}}\partial_{s_v}(\partial_{s_1}^{k-j}(s_1^{k-j-1}{\small\prod_{v=1}^{j+1}}s_v))=(k-j)!\small\quad(0\le j\le k>1)$6don
$(5)\quad\partial_{\underset{\,}{s_2}}\cdots\partial_{s_{j+2}}\partial_{s_1}^{k-j}(h_{k-j+m}\sigma_{j+1-m})=0\;\;(m>0)$'y
$\qquad\;$(变元数: $h_{k-j+m}\sigma_{j+1-m}$各项$j+2-m$,微分算子$j+2$)(3r_v
$(6)\quad\partial_{s_2}\cdots\partial_{s_{j+2}}\partial_{s_1}^{k-j}(h_{k-j-1-m}\sigma_{j+2+m})=0\;\;(m>0){\scriptsize\underset{\,}{\,}}$'p}U>
$\qquad\;$($h_{k-j-1-m}\sigma_{j+2+m}$中$s_1$的次数$< k-j{\scriptsize\underset{\,}{\,}}$)'hjU
$(7)\quad\partial_{\underset{\,}{s_1}}\cdots\partial_{s_{k+1}}(h_1\sigma_{k})=\partial_{\underset{\,}{s_1}}\cdots\partial_{s_k}(\sigma_k+h_1\sigma_{k-1}|_{x_{k+1}=0})$&
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=1+\partial_{\underset{\,}{s_1}}\cdots\partial_{s_k}(h_1(\sigma_{k-1}|_{s_{k+1}=0}))=\cdots=k+1.{\scriptsize\underset{\,}{\,}}$G[jU.4
定理: $\displaystyle h_{k+1}={\small\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^j}h_{k-j}\sigma_{j+1}+(-1)^k(k+1)\sigma_{k+1}.\quad$(牛顿公式)%1
证:据上述$(0)\sim(7)\,$易见对$\,1\le j\le k+1,\,$下式成立bp0@
$\qquad{\small(\partial_{s_1}\cdots\partial_{s_j})\partial_{s_j}^{k-j+1}}\bigg(\displaystyle{\small\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^j}h_{k-j}\sigma_{j+1}{\small+(-1)^k(k+1)}\sigma_{k+1}-h_{k+1}\bigg)=0.\small\quad\square$z_3^


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  推论:$n\,$元初等对称多项式与基本对称多项式可互相表示.sa
$\qquad h_1=\sigma_1$v
$\qquad h_2=\sigma_1^2-2\sigma_2$82i2+
$\qquad h_3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3$N.
$\qquad h_4=\sigma_1^4-4\sigma_1^2\sigma_2+4\sigma_1\sigma_3+2\sigma_2^2-4\sigma_4$#JD-W
$\qquad h_5=\sigma_1^5-5\sigma_1^3\sigma_2+5\sigma_1^2\sigma_3+5\sigma_1\sigma_2^2-5\sigma_1\sigma_4-5\sigma_2\sigma_3+5\sigma_5\underset{\,}{\,}$_m_
$\qquad \ldots\ldots$904xH
$\qquad \sigma_1=h_1$>P.tL^
$\qquad \sigma_2=\frac{1}{2}(h_1^2-h_2)$MkG8d
$\qquad \sigma_3=\frac{1}{6}(h_1^3-3h_2h_1+2h_1)\underset{\,}{\,}$F#;e
$\qquad \ldots\ldots$wL


发贴时间2020/05/03 11:48am IP: 已设置保密[本文共638字节]  

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