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--- 连分数的缩写形式 $1+ \frac{1}{2}\fplus\frac{1}{3}\fplus\fdots$ (http://mathchina.elinkage.net/cgi-bin/topic.cgi?forum=3&topic=10)


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2011/01/24 10:52am



$\newcommand{\fplus}{\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+}} \newcommand{\fdots}{\genfrac{}{}{0pt}{}{}{\cdots}}   \displaystyle{\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{2}\fplus\frac{3^2} {2} \fplus\frac{5^2}{2}\fplus\frac{7^2}{2}\fplus\fdots}$

$\displaystyle{\frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\fdots}$

[code]$\newcommand{\fplus}{\genfrac{}{}{0pt}{}{}{+}} \newcommand{\fdots}{\genfrac{}{}{0pt}{}{}{\cdots}}   \displaystyle{\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{2}\fplus\frac{3^2} {2} \fplus\frac{5^2}{2}\fplus\frac{7^2}{2}\fplus\fdots}$

$\displaystyle{\frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\fdots}$[/code]


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2011/01/24 10:59am

我将设法将这种新指令写到设置中,这样就不需要每次用的时候一再定义了。


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2011/01/26 10:05am


事情已经搞定:/data/template/leobbs.cgi    
http://elinkage.net/cgi-bin/topic.cgi?forum=2&topic=12&show=0#1

于是就可以在帖子里使用\fplus \fdots:

    $\displaystyle{\frac{\sqrt{5}-1}{2}= \frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\fdots}$

    $\displaystyle{\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{2}\fplus\frac{3^2} {2} \fplus\frac{5^2}{2}\fplus\frac{7^2}{2}\fplus\frac{9^2}{2}\fplus\fdots}$

[code]$\displaystyle{\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{2}\fplus\frac{3^2} {2} \fplus\frac{5^2}{2}\fplus\frac{7^2}{2}\fplus\frac{9^2}{2}\fplus\fdots}$[/code]


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2017/11/27 03:51am

一般连分数表达式可由以下等式递归地定义:

$\large\frac{a_1}{b_1}\fplus\frac{a_2} {b_2} \fplus\frac{a_3}{b_3}\fplus\frac{a_4}{b_4}\fplus\fdots = \frac{a_1}{b_1+(\frac{a_2} {b_2} \fplus\frac{a_3}{b_3}\fplus\frac{a_4}{b_4}\fplus\fdots)}$

设$\;y = \large\frac{x}{1}\fplus\frac{x} {1} \fplus\frac{x}{1}\fplus\frac{x}{1}\fplus\fdots = \frac{x}{1+y},\;$则$\;y = \large\frac{-1+\sqrt{1+4x}}{2}$

故有$\;{\large\frac{1}{3}\big(\frac{\frac{3\lambda^2}{16}}{1}\fplus\frac{\frac{3\lambda^2}{16}}{1}\fplus\frac{\frac{3\lambda^2}{16}}{1}\fplus\fdots\big)=\frac{1}{12}}(-2+\sqrt{4-3\lambda^2}).$


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2017/11/28 07:39am

由归纳定义$\underset{\,}{\,}$
${\large\frac{a_1}{1}\fplus\frac{a_2}{1} \fplus\frac{a_3}{1}\fplus\frac{a_4}{1}\fplus\fdots} = {\large\frac{a_1}{1+(\frac{a_2} {1} \fplus\frac{a_3}{1}\fplus\frac{a_4}{1}\fplus\fdots)}}=$

$={\large\frac{a_1}{1+\frac{a_2}{1+(\frac{a_3}{1}\fplus\frac{a_4}{1}\fplus\fdots)}}}={\large\frac{a_1}{1+\frac{a_2}{1+\frac{a_3}{1+(\frac{a_4}{1}\fplus\fdots)}}}}=\large\frac{a_1}{1+\frac{a_2}{1+\frac{a_3}{1+\frac{a_4}{1+\cdots}}}}$

$\boxed{{\small\frac{a_1}{1}\fplus\frac{a_2}{1}\fplus\frac{a_3}{1}\fplus\fdots} =\small\frac{a_1}{1+{\large\frac{a_2}{1+\frac{a_3}{1+\cdots}}}}}$ (左边是右边的简写)


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2017/11/30 00:06am

设$\;x=\frac{1}{r+x}>0\;$即$\;\frac{-r + \sqrt{r^2+4}}{2} =x=\frac{1}{r+\frac{1}{r+\frac{1}{r+\frac{1}{r+\cdots }} } }=[0;r,r,r,\ldots]$

$\sqrt{r^2+4}=r+2[0;r,r,r,\ldots]$


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2017/12/02 05:34am

$\frac{\beta_1}{1}=\frac{u_1}{v_1}\;(u_0=0,u_1=\beta_1,v_0=v_1=1)$

$\frac{\beta_1}{1}\fplus\frac{\beta_2}{1}=\frac{\beta_1}{1+\beta_2}=\frac{u_1+\beta2 u_0}{v_1+\beta_2 v_0}$

记$\;\begin{pmatrix}u_{k+1}\\ v_{k+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_k& u_{k-1}\\ v_k& v_{k-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ \beta_{k+1}\end{pmatrix}$

假定$\;k\ge 2,\,2\le j\le k,\;\frac{\beta_1}{1}\fplus\fdots\fplus\frac{\beta_{j}}{1}=\frac{u_{j-1}+\beta_j u_{j-2}}{v_{j-1}+\beta_j v_{j-2}}$
令$\;\gamma_j = \beta_j\;(j< k),\;\gamma_k = \beta_k/(1+\beta_{k+1})$

则$\;\large\frac{\beta_1}{1}\fplus\fdots\fplus\frac{\beta_{k}}{1}\fplus\frac{\beta_{k+1}}{1}=\frac{\gamma_1}{1}\fplus\fdots\fplus\frac{\gamma_k}{1}=\frac{u_{k-1}+\gamma_k u_{k-2}}{v_{k-1}+\gamma_k v_{k-2}}$

$\quad =\large\frac{u_k+\beta_{k+1}u_{k-1}}{v_k+\beta_{k+1}v_{k-1}}=\frac{(1+\beta_{k+1})u_{k-1}+\beta_k u_{k-2}}{(1+\beta_{k+1})v_{k-1}+\beta_k v_{k-2}}=\frac{u_{k+1}}{v_{k+1}}$


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2017/12/02 01:20pm

从 $x = \frac{a}{1+(\frac{a-x}{x})}=\frac{a}{1}\fplus\frac{(a-x)/x}{1}\;(x,a\ne 0)$ 知道,$\,x\,$的形如$\;\frac{a_1}{1}\fplus\frac{a_2}{1}\fplus\frac{a_3}{1}\fplus\fdots$

$w\,$的连分数展开根本没有惟一性。我关于$\,w\,$的连分数解因此是作了
特殊限制后的结果。因此不是绝对意义上的推导.但也不仅是死背,
或验证.原文笔者表达得很中肯, 就是对拉马努金的死无对证的思
想的尽力"复原".


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