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-- 作者: elim
-- 发布时间: 2020/02/26 03:30am

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I 线性代数
[url=/cgi-bin/topic.cgi?forum=1&topic=964#2]$\qquad A.\,$体$\quad B.\;$向量空间$\quad C.\;$齐次线性方程[/url]


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2020/02/26 04:50am

[b]A.体[/b] 称$\,({\small K},+,\cdot)\,$为体, 如果$\,({\small K},+)\,$为Abel群($0$为幺元),
$\quad\;({\small K\setminus\{0\}},\mathbf{\cdot})\,$为乘法群($1$为幺元).且$\;a(b+c)=ab+ac$
$\quad\;(a+b)c=ac+bc\,(\forall a,b,c\in K).\,$在不至误解的情形,
$\quad\,$以$K$记体.按乘法可交换与否也称$K$为交换体或斜体$\underset{\,}{.}$
[b]B.向量空间[/b] 称加群$\small V$为体$\small K$上的向量空间,如果有二元
$\quad\,$运算${\small K\times V\to V\,}((k,\mathbf{v})\mapsto k\mathbf{v})\;(\forall\,a,b\in{\small K}\,\forall\mathbf{u},\mathbf{v}\in{\small V}):$
$\quad\,(1)\;a(\mathbf{u}+\mathbf{v})=a\mathbf{u}+a\mathbf{v};\quad(2)\;(a+b)\mathbf{v}=a\mathbf{v}+b\mathbf{v};$
$\quad\,(3)\;a(b\mathbf{v})=(ab)\mathbf{v};\qquad\quad\;\;(4)\;1\mathbf{v}=\mathbf{v}\underset{\,}{.}$
$\quad\,$由$\,a\mathbf{v}=(a+0)\mathbf{v}=a\mathbf{v}+0\mathbf{v}\,$得$\,0\mathbf{v}=\mathbf{0}.\,$同理$,\,a\mathbf{0}=\mathbf{0}.$
$\quad\,$类似地可可以右向量空间. 若左,右向量空间在讨论
$\quad\underset{\,}{\,}$中不同时出现,就简称为向量空间.
[b]C.齐次线性方程[/b] 给定$\,a_{ij}\small\in K\,(i=\overline{1,m},j=\overline{1,n})$,称$x_j$的
$\quad$方程组$\,L_i\equiv a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n=0\small\,(i=\overline{1,m})\,$为$\{x_j\}_1^n$
$\quad$的齐次方程.
[b]命题1[/b] $m< n$时上述齐次方程组必有非平凡解.
[b]证:[/b]$1=m< n$时命题显然成立.设$\,1< m< n,\;a_{mn}\ne 0$
$\quad$则方程组$\,{\small L_i^{[1]}\equiv\,}L_i{\small-}a_{in}a_{mn}^{-1}L_m = 0\;(i{\scriptsize=\overline{1,m-1}})$的方程数
$\quad$仍小于未知量个数 适当地的方程排序,这个消元减方
$\quad$程数的过程可继续,得$\small L_1^{[m-1]}=0\,$的非平凡解$\small\{x_j\}_1^{n-m+1}$
$\quad$将其代回$\small L_2^{[m-2]}=0\,$可解得解$x_{n-m+2}.\,$重复这个逆向过
$\quad$程最终得到原齐次方程组的非平凡解.
[b]注记[/b] 本命题对$a_{ij}$均右乘于$x_j$的情形显然也成立.若左乘
$\quad$右乘兼具而$\small K$是斜体. 此证法失效,命题一般不成立.


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