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--- 设$\;a_n>0,\;a_{n+1}-a_n\to l\ne 0\;(n\to\infty).\;$求$\;\displaystyle\small\lim_{n\to\infty}\big(\frac{a_{n+1}}{a_n}\big)^n.$ (http://mathchina.elinkage.net/cgi-bin/topic.cgi?forum=1&topic=904)


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2019/02/05 09:41am

[b]题:[/b]设$\;a_n>0\,(\forall n),\;{\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}}(a_{n+1}-a_n) = l\ne 0.\;$求$\;\displaystyle\small\lim_{n\to\infty}\big(\frac{a_{n+1}}{a_n}\big)^n.$
[b]解:[/b]由Stolz定理,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_{n}}{n}}=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_{n+1}-a_n}{1}}=l$
$\therefore\quad\small\underset{\,}{\big(\frac{a_{n+1}}{a_n}\big)^n}=\big(1+\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}\big)^n=\exp\big(n\ln\big(1+\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}\big)\big)$
$\therefore\quad{\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\big({\scriptsize\frac{a_{n+1}}{a_n}}\big)^n=\exp\big(\lim_{n\to\infty}{\scriptsize\frac{a_n}{l}}\ln\big(1+{\scriptsize\frac{l}{a_n}}\big)\big) =} \exp(\ln e)=e.\;\;\square$



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