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--- $n^{n+1} > (n+1)^n\;\;(2< n\in\mathbb{N})$ (http://mathchina.elinkage.net/cgi-bin/topic.cgi?forum=1&topic=690)


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2016/03/25 01:31am

[b]试证:[/b]对任意不小于$\,3\,$的正整数有 $n^{n+1} > (n+1)^n$

[b]证:[/b]$\displaystyle{2< n\in\mathbb{N}\implies \mathbb{N}\ni n > e > {\small{\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n = \frac{(n+1)^n}{n^n}}}\implies n^{n+1}> (n+1)^n\;\square}$


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2016/03/28 04:29am

$\displaystyle{\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k} = 2+\sum_{k=2}^n}\frac{1}{k!}\prod_{j=1}^{k-1}\bigg(1-\frac{j}{n}\bigg)$
$\displaystyle{\qquad\qquad\quad < 2+\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k!}\prod_{j=1}^{k-1}\bigg(1-\frac{j}{n+1}\bigg) = \bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}}$

$\displaystyle{\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n = 2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}\prod_{j=1}^{k-1}\bigg(1-\frac{j}{n}\bigg) < 2+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)} = 3}$


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