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--- 求方程$\;x^5+x^4+1=0\;$的根式解. (http://mathchina.elinkage.net/cgi-bin/topic.cgi?forum=1&topic=1138)


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2021/03/07 11:22am

[b]题:[/b]求方程$\;(^*)\;\;x^5+x^4+1=0\;$的根式解.
[b]解:[/b]因$\;x^5+x^4+1=(x^3-x+1)(x^2+x+1),\,$
$\quad$由二次三次方程求根公式或自行推导得$\,(^*)\,$的5个单根:
$\quad\frac{-1}{\sqrt{3}}(\beta+\beta^{\small-1}),\;\frac{1}{\sqrt{12}}(\beta+\beta^{\small-1})\pm\frac{\large i}{2}(\beta-\beta^{\small-1}),\;\frac{1}{2}({\small-1}\pm i\sqrt{3}).$
$\quad(\beta=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{27}+\sqrt{23}}{2}}).$


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2021/03/08 05:11am

我们来验证$\;\big({\small\beta=}\sqrt[3]{\frac{\sqrt{27}+\sqrt{23}}{2}},\;\small\;\beta^3+\beta^{\small-3}=\sqrt{27}\big)$
$\quad\alpha_0=-\frac{1}{\sqrt{3}}{\small(\beta+\beta^{-1})},\,\;\alpha_{1,2}=\frac{1}{\sqrt{12}}{\small(\beta+\beta^{-1})}\pm\frac{\large i}{2}{\small(\beta-\beta^{-1})}$
是方程$\;x^3-x+1=0\,$的三个根:
$(0)\quad\;\;\alpha_0+\alpha_1+\alpha_2=\frac{-1}{\sqrt{3}}(\beta+\beta^{-1})+\frac{2}{\sqrt{12}}(\beta+\beta^{-1})=0,$
$(1)\quad\;\;\alpha_0^3=-\frac{1}{\sqrt{27}}(\beta^3+\beta^{-3}+3(\beta+\beta^-1))=-1+\alpha_0,$
$(2)\quad\;\;\alpha_1\alpha_2=\frac{1}{12}(\beta+\beta^{-1})^2+\frac{1}{4}(\beta-\beta^{-1})^2=\alpha_0^2-1,$
$\therefore\quad\;\;\;\alpha_0\alpha_1+\alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_0\;\overset{(0,2)}{=\hspace{-3px}=}-\alpha_0^2+\alpha_0^2-1=-1,$
$\qquad-\alpha_0\alpha_1\alpha_2\overset{(2)}{=}-\alpha_0(\alpha_0^2-1)=-\alpha_0^3+\alpha_0\overset{1}{=}1\underset{\,}{.}$
可见$\;\;(x-\alpha_0)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)=x^3-x+1.\quad\small\square$
常见的数值代入一般不是某数为方程的精确解的严格验证.


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