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--- 求多项式$(1+x^5+x^7+x^{12})^{20}$展开式中$x^{17}$的系数. (http://mathchina.elinkage.net/cgi-bin/topic.cgi?forum=1&topic=1047)


-- 作者: elim
-- 发布时间: 2020/06/21 04:12pm

[b]题:[/b]求多项式$(1+x^5+x^7+x^{12})^{20}$展开式中$x^{17}$的系数.
$\quad(1+x^5)^{20}(1+x^7)^{20}=\displaystyle{\small\sum_{m=0}^{20}\binom{20}{m}}x^{5m}{\small\sum_{n=0}^{20}\binom{20}{n}}x^{7n}$
$\qquad\displaystyle{=\small\sum_{0\le m,n\le 20}\binom{20}{m}\binom{20}{n}}x^{5m+7n}={\small\sum_{k=0}^{240}}a_kx^k$
$\quad(5m+7n{\small=}17)\Rightarrow((m,n){\small=}(2,1))\Rightarrow a_{17}{\small=\dbinom{20}{2}\dbinom{20}{1}=}3800.$


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