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主题标题: [分享]几个正弦余弦有限连乘公式.
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    帖子一览:[分享]几个正弦余弦有限连乘公式. (新回复在最前,最多列出 6 个)  [列出所有回复]
    elim 发表于: 2020/03/04 06:14am
    例:$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\;\;\scriptsize((4),n=1)$
     
    elim 发表于: 2020/03/03 10:05am
    $\displaystyle{\small(1)\;\;\prod_{k=1}^{n-1}}\sin{\scriptsize\frac{k\pi}{n}}\small=\frac{n}{2^{n-1}};\;\;\quad\quad(2)\;\;{\small\prod_{k=1}^n}\sin{\scriptsize\frac{(2k-1)\pi}{2n}}\small=\frac{1}{2^{n-1}};$
    $\displaystyle{\small(3)\;\;\prod_{k=1}^{n}}\sin{\scriptsize\frac{k\pi}{2n+1}}{\small=}{\scriptsize\frac{\sqrt{2n+1}}{ 2^n}}{\small;\quad(4)\;\;\prod_{k=1}^n}\cos{\scriptsize\frac{(2k-1)\pi}{4n+2}}{\small=}{\scriptsize\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}.}$
    证:$\small(1)\;$令$\,z_k=\exp(\frac{2k\pi}{n}i),\;\,$则$\small\,\;\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-z_k)=\frac{z^n-1}{z-1}\overset{z\to 1}{\longrightarrow}n$
    $\quad\because\,|1-z_k|=2\sin\frac{k\pi}{n},\;\quad\therefore\;\;{\small\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}.$
    $\qquad{\small(2)}\;\displaystyle{\small\prod_{k=1}^n}\sin{\scriptsize\frac{(2k-1)\pi}{2n}}{\small=\frac{\prod_{k=1}^{2n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}}{\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}}=\frac{2n/2^{2n-1}}{n/2^{n-1}}=\frac{1}{2^{n-1}}}.$
    $\qquad{\small(3)}\;\displaystyle\bigg({\small\prod_{k=1}^n}\sin{\scriptsize\frac{k\pi}{2n+1}}\bigg)^2{\small=\prod_{k=1}^n}\sin{\scriptsize\frac{k\pi}{2n+1}}\sin{\scriptsize\frac{(2n+1-k)\pi}{2n+1}}$
    $\qquad\quad\displaystyle{\small=\prod_{k=1}^{2n}}\sin{\scriptsize\frac{k\pi}{2n+1}}\,{\small\overset{(1)}{=}}\,{\scriptsize\frac{2n+1}{2^{2n}}}$
    $\qquad{\small(4)}\;\displaystyle{\small\prod_{k=1}^n}\sin\big({\scriptsize\frac{\pi}{2}-\frac{(2k-1)\pi}{4n+2}}\big){\small=\prod_{k=1}^n}\sin{\scriptsize\frac{(n-k+1)\pi}{2n+1}}\;{\small\overset{(3)}{=}}\;{\scriptsize\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}}.$
     


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