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主题标题: 设$\;a_n>0,\;a_{n+1}-a_n\to l\ne 0\;(n\to\infty).\;$求$\;\displaystyle\small\lim_{n\to\infty}\big(\frac{a_{n+1}}{a_n}\big)^n.$
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    帖子一览:设$\;a_n>0,\;a_{n+1}-a_n\to l\ne 0\;(n\to\infty).\;$求$\;\displaystyle\small\lim_{n\to\infty}\big(\frac{a_{n+1}}{a_n}\big)^n.$ (新回复在最前,最多列出 6 个)  [列出所有回复]
    elim 发表于: 2019/02/05 09:41am
    题:设$\;a_n>0\,(\forall n),\;{\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}}(a_{n+1}-a_n) = l\ne 0.\;$求$\;\displaystyle\small\lim_{n\to\infty}\big(\frac{a_{n+1}}{a_n}\big)^n.$
    解:由Stolz定理,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_{n}}{n}}=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_{n+1}-a_n}{1}}=l$
    $\therefore\quad\small\underset{\,}{\big(\frac{a_{n+1}}{a_n}\big)^n}=\big(1+\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}\big)^n=\exp\big(n\ln\big(1+\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}\big)\big)$
    $\therefore\quad{\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\big({\scriptsize\frac{a_{n+1}}{a_n}}\big)^n=\exp\big(\lim_{n\to\infty}{\scriptsize\frac{a_n}{l}}\ln\big(1+{\scriptsize\frac{l}{a_n}}\big)\big) =} \exp(\ln e)=e.\;\;\square$


     


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