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主题标题: $\,z\,$距$\odot(O,r)$的内接正$n$边形各顶点的平方和是$\,n(r^2+|z|^2)$
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    帖子一览:$\,z\,$距$\odot(O,r)$的内接正$n$边形各顶点的平方和是$\,n(r^2+|z|^2)$ (新回复在最前,最多列出 6 个)  [列出所有回复]
    elim 发表于: 2020/06/23 01:13am
    题:试证$\,z\underset{\,}{\,}$距$\odot(O,r)$的内接正$n$边形各顶点的平方和是$\,n(r^2+|z|^2).$
    证:设$n$个顶点是$\,r\exp(i\varphi_k)\;(\varphi_k=\varphi_0+\frac{2k\pi}{n},\,k=\overline{0,n-1})\underset{\,}{\;}$
    $\because\quad|z-re^{i\varphi}|^2=(z-re^{i\varphi})(\bar{z}-re^{-i\varphi})=r^2+|z|^2-r(ze^{-i\varphi}+\bar{z}e^{i\varphi}),$
    $\qquad$等比数列和$\;\displaystyle{\small\sum_{k=0}^{n-1}}e^{i\varphi_k}=e^{i\varphi_0}{\small\sum_{k=0}^{n-1}}\big(e^{i\frac{2\pi}{n}}\big)^k=0$
    $\therefore\quad\displaystyle{\small\sum_{k=0}^{n-1}}|z-re^{i\varphi_k}|^2=n(r^2+|z|^2)-r{\small\sum_{k=0}^{n-1}}(ze^{-i\varphi_k}+\bar{z}e^{i\varphi_k})=n(r^2+|z|^2).$
     


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